3×3 Magic Squares in 𝔽₂ — 24-JAN-2026
These form a commutative ring for some reason.
$$\def\arraystretch{1.6}
\begin{array}{c|c:c:c:c|c:c:c:c}
+ & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}}\\
\hline \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}}\\
\hdashline \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}}\\
\hdashline \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}}\\
\hdashline \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}}\\
\hline \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1}\\
\hdashline \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1}\\
\hdashline \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0}\\
\hdashline \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}\\
\end{array}$$
$$\def\arraystretch{1.6}
\begin{array}{c|c:c:c:c|c:c:c:c}
\circ & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}}\\
\hline \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}\\
\hdashline \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1}\\
\hdashline \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1}\\
\hdashline \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}\\
\hline \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}}\\
\hdashline \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}}\\
\hdashline \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&1&0\\1&0&1\\0&1&1} & \smallmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}} & \red{\smallmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}}\\
\hdashline \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{1&0&1\\0&0&0\\1&0&1} & \smallmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{0&1&0\\1&1&1\\0&1&0}} & \red{\smallmat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}}\\
\end{array}$$